Вернуться в алфавитное меню

Детерминант

Детерминант. Слово происходит от латинского determino — «ограничивать», «определять» и его буквальный смысл — «определитель». Термин встречается впервые у Гаусса и означает при этом дискриминант квадратичной формы (1801). В современном значении этот термин ввел Коши (1815).

Идея детерминанта восходит к Лейбницу, который пришел к детерминантам при решении систем линейных уравнений; рукопись Лейбница относится к 1678 г., письмо к Лопиталю с сообщением о методе — к 1693 г. В одном из следующих писем Лейбниц писал: «На мой взгляд, это одно из лучших открытий в анализе». Основное — свой метод обозначения коэффициентов — Лейбниц опубликовал в 1700 г. без каких-либо применений и выводов. Переписка же с Лопиталем была опубликована в 1850 г. В 1750 г. детерминанты были вновь изобретены женевским математиком Крамером («Introduction а l'analyse des lignes courbes algebriques»). При этом Крамер употреблял естественные названия — «строки» и «столбцы» детерминанта, которые и вошли в обиход.

Метод Крамера был замечен и очень быстро стал основной частью школьной программы. Французский математик Вандермонд опубликовал первое исследование, посвященное определителям (1772), он впервые изложил цельную теорию, ему принадлежат многие классические результаты: Δ=0, если две строки детерминанта равны; и другие. Вандермонд предложил для эле- мента alk обозначение i/k и специальный символ для детерминанта, который не сохранился в теории, но в свое время помог ее развитию. Совсем близко к современным обозначениям подошел Коши, употреблявший запись аi/k. До конца XIX в. элементы детерминанта обозначались ar,s Первые полные изложения теории принадлежат Бине и Коши. Они одновременно занялись теорией детерминантов и, естественно, получили некоторые общие результаты. Во избежание споров о приоритете они договорились сделать доклады Академии Наук на одном заседании и опубликовать свои статьи одновременно (1812). Коши посвятил теории определителей еще 14 мемуаров. Считают, что именно он превратил теорию в самостоятельную дисциплину, оторвав ее от линейных уравнений. Следующий этап составили 30 работ Якоби (1827—1841), среди которых и завершающая статья «О построении и свойствах детерминантов». Первая книга о детерминантах написана Бриоски (1854). Якоби ввел в рассмотрение функциональные определители и сделал их методом исследования в математическом анализе, ему и Коши принадлежит термин «детерминант п-го порядка». Первая попытка ввести бесконечные детерминанты была сделана Котеричем (1770), а строгая теория начала создаваться Пуанкаре (1885) и немецким ученым Кохом.

Ко второй половине XIX в., кажется, не осталось такого раздела математики, куда бы не проникли определители, но задача, породившая их, еще не была решена: исследование различных случаев, возникающих при решении систем выяснение существования и единственности решения и т. д. было проведено только Кронекером. Эти результаты впервые излагались им на лекциях в 1864 г., а опубликованы (с разрешения Кронекера) во втором издании руководства Бальцера по теории определителей. «Лекции» Кронекера изданы только в 1903 г. Два правила вычисления детерминанта — методом треугольников и приписыванием столбцов — придумал страсбургский профессор Саррюс. Еще одно правило основывается на свойстве, замеченном Якоби (1841): если к элементам строки добавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на общий множитель, то определитель не изменится. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца встречалась в частных случаях у Вандермонда (1771), Лапласа (1773), Безу (1779). Но лишь у Коши она полностью сформулирована и доказана (1812). Только, в «Лекциях» Вейерштрасса 1886—1887 г. (опубликованных в 1903 г.) появилось свойство о том, что определитель меняет знак при перестановке двух строк, и некоторые другие свойства. Обозначения — вертикальные линии для определителя, две вертикали для матрицы — ввел Кэли (1841). [185, с. 36]; [26, с. 58—59]; [178(II), с. 45]; [172, с. 31]; [49, 68, 92, 127, 211]; [171]

Источник - Александрова Н.В. Математические термины - справочник / Словарь математических терминов /
Рецензенты: канд. физ.-матем. наук доц. Р. С. Гутер и кафедра высшей математики МИСИ /

Яндекс.Метрика