Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Расчетные формулы на центральное растяжение (сжатие) стержней

Центральное растяжение или сжатие бруса имеет место в том случае, когда все приложенные к брусу нагрузки или их равнодействующие направлены вдоль его оси (осевые нагрузки). При этом в поперечных сечениях бруса действуют только нормальные напряжения, которые можно привести к одному внутреннему усилию - продольной силе N. При известных нагрузках и опорных реакциях продольная сила в поперечник сечениях брусе может быть определена статически с помощью метода сечений (рис.1.1).

     Равновесие левой части:
∑x = 0; P1 - pa + N = 0; N = pa - P1.

Таким образом, продольная сила в любом сечении бруса определяется как сумма проекций всех нагрузок, приложенных к одной 3 частей бруса, на его ось. Растягивающую продольную силу будем считать положительной, а сжимающую - отрицательной (рис. 1.2). Продольная сила в общем случае переменна по длине бруса. Между продольной силой и распределенной осевой нагрузкой существует следующее дифференциальное соотношение:

dN / dx = -p (x).
Это соотношение позволяет установить характер изменения продольной силы в зависимости от вида распределенной осевой нагрузки.

Нормальные напряжения в брусе при центральном растяжении и сжатии принимаются постоянными по поперечному сечению. Они определяются по формуле:

σ = N / F,
где F - площадь поперечного сечения бруса.

Деформация бруса при центральном растяжении и сжатии характеризуется осевыми перемещениями поперечных сечений, которые связаны между собой следующей формулой:

υi = υi-1 + Δl i
где υi - абсолютное удлинение или укорочение участка бруса между сечениями x i и x i-1

Относительные линейные деформации продольных волокон бруса связаны с осевыми перемещениями формулой Коши:

εx = ε = dυ / dx

Размеры поперечных сечений бруса при растяжении уменьшаются, а при сжатии - увеличиваются. Это явление называется поперечной деформацией и характеризуется коэффициентом Пуассона:

μ = |ε' / ε|
где ε' и ε - относительные линейные поперечные и продольные деформации;

ε' = Δa / a;       ε = Δ(dx) / dx.

Деформации ε' и ε всегда имеют разные знаки. Коэффициент Пуассона определяется экспериментально и для различных материалов лежит в пределах 0 ≤ μ ≤ 0,5.

Для линейно-упругих материалов зависимость между σ и ε характеризуется законом Гука при растяжении - сжатии:

σ = Eε
где E = tgα - модуль упругости при растяжении-сжатии, определяемый экспериментально для каждого материала.

Абсолютное удлинение или укорочение участка бруса длиной l в общем случае определяется по формуле:

Δl = e ( N / EF * dx),
где EF - жесткость бруса при растяжении-сжатии. При постоянных по длине бруса жесткости и продольной силе абсолютное удлинение или укорочение определяется по более простой формуле:
При   EF = const, N = const    Δl = Nl / EF.

Если продольная сила или жесткость переменны по длине бруса то при вычислении Δl удобно использовать геометрический смысл определенного интеграла. Например, при E=const формулу можно представить в следующем виде:

где - площадь эпюры σ на данном участке, взятая с учетом знака напряжений.

При постоянной по длине жесткости бруса EF центральное растяжение и сжатие описывается следующим дифференциальным уравнением:

EFυ''(x) = -p (x).

Потенциальная энергия деформации бруса длиной l при центральном растяжении и сжатии в общем случае определяется по формуле:

U = ∫e (N² / 2EF * dx)

Брус, работающий на растяжение или сжатие, обычно называется стержнем. Расчеты на прочность стержней, являющихся элементами строительных конструкций производятся по методу предельных состояний. Расчетные формулы имеют следующий вид:

     где:
Nрасч - продольная сила в стержне,вычисленная от действия расчетных нагрузок;
Nпред - предельная по условию прочности продольная сила;
R - расчетное сопротивление материала стержня на растяжение или сжатие.

Разрушающее усилие в стержне при растяжении-сжатии определяется по формуле:

Nразр = σm F
где σm - предел текучести материала.

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика