Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Примеры решения задач на центральное растяжение и сжатие стержней

Задача

Стержень ступенчато-переменного сечения находится под действием показанных на рис. осевых нагрузок. Требуется построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений, определить абсолютные удлинения (укорочения) участков стержня и построить эпюру осевых перемещений. В расчетах принять E = 2*104 МПа = 2*105 кг/см²

Уравнения равновесия:

¯F = ∑¯Fk = 0;¯M0 = ∑¯M0(¯Fk ) = 0

Вначале определяем из уравнения равновесия опорную реакцию в месте закрепления стержня:

x = 0;     -20*1,5 + 70 - 30*2 + R = 0;     R = 20кН = 2m.

Поскольку реакция оказалась положительна, ее направление в начале расчета выбрано правильно. Для построения эпюр N и δ вычисляем значения продольник сил и нормальных напряжений в характерных сечениях стержня, начиная со свободного конца.

1. Сечение х = 5,5м (свободный конец)
                          N = δ = 0 (сосредоточенная сила отсутствует).

2. Сечение х = 4+0 (выше границы участков)
                          N = -20*1,5 = -30кН = -3m (сжатие),
                          δ = -3000 / 75 = -40кг/см² = -4МПа

3. Сечение x = 4-0 (ниже границы участков)
                          N = -30 + 70 = 40кН = 4m (растяжение),
                          δ = 4000 / 50 = 80кг/см² = 8МПа

4. Сечение х = 2+0 (выше границы участков)
                          N = 40kH = 4m,      δ = 4000 / 50 = 80кг/см² = 8МПа.

5. Сечение х = 2-0 (ниже границы участков)
                          N = 40kH = 4m,      δ = 4000 / 100 = 40кг/см² = 4МПа.

6. Сечение x = 0 (закрепление)
                          N = 40 - 30*2 = -20kH = -2m,      δ = -2000 / 100 = -20кг/см² = -2МПа

На первом и третьем участках стержня продольная сила меняется по линейному закону ( p = const ),а на втором участке она постоянна ( р = 0 ). Отметим также,что в пределах первого участка продольная сила и нормальные напряжения меняют знак. В сечении на границе второго и третьего участков продольная сила имеет разрыв (скачок) на величину сосредоточенной силы Р = 70кН.

Полученные ординаты откладываем на оси стержня и строим эпюры N и δ . Эти эпюры приведены на рис.

Вычисляем абсолютнее удлинения (укорочения) участков стержня. Значения Δl первого и третьего участков определяем с помощью площади эпюры нормальных напряжений на этих участках.

Определяем удлинение (укорочение) всего стержня:

Δl = Δl 1 + Δl 2 + Δl 3 = 0,01 + 0,08 - 0,015 = 0,075см (удлинение).

Для построения эпюры υ вычисляем по следующей формуле:

υi = υi-1 + Δl i
значения осевых перемещений характерных сечений стержня.

В сечениях, где продольная сила обращается в ноль, осевые перемещения имеют экстремальные значения (сечения х = 0,67м и х = 5,5м ). Вычисляем экстремальное значение υ на первом участке.

5. Сечение x = 0,67m

υ = υext = υ0 + Δl *1 = 1/2*105( -(20*67 / 2) ) = -0,0034см
где - Δl *1 - значение абсолютного укорочения заштрихованной части первого участк (рис.).

Эпюра осевых перемещении представлена на рис. На первом и третьем участках стержня осевые перемещения меняются по закону квадратной параболы, а на втором участке - по линейному закону.

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика