Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Геометрические характеристики плоских сечений.
Расчетные формулы, основы расчетов.

Поперечное сечение бруса имеет в системе произвольных взаимно ортогональных осей yz (рис.1) следующие геометрические характеристики:

1. Площадь сечения

F = ∫FdF

2. Статические моменты

Sz = ∫F ydF,     Sy = ∫F zdF

Статические моменты имеют размерность длины в третьей степени, например см³. Они могут быть положительными, отрицательными и равными кулю. Статические моменты можно определить по формулам:

Sz = ycF,     Sy = xcF
где yc и xc - координаты центра тяжести сечения (рис.1). Из предыдущих формул следует, что
xc = Sy / F,     yc = Sz / F

Статические моменты относительно любых осей, проходящих через центр тяжести сечения, равны нулю.

3. Осевые моменты инерции

Jz = ∫F y²dF,     Jy = ∫F z²dF

4. Полярный момент инерции

Jp = ∫F r²dF

Если полюс совпадает с началом координатных осей, то выполняется условие

Jp = Jz + Jy
Осевые и полярный моменты инерции сечений всегда положительны.

5. Центробежный момент инерции

Jzy = ∫Fzy dF.

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Если хотя бы одна из осей координат совпадает с осью симметрии сечения, то центробежный момент инерции относительно такой пары осей равен нулю. Например, для сечения на рис.2 имеем Jyz = Jyz1 = 0.

Осевые, полярный и центробежный моменты инерции имеют размерность длины в четвертой степени, например см4.

Статические моменты и моменты инерции определяются как интегралы по площади сечения. Следовательно, для одних и тех же осей их можно вычислять раздельно по частям (элементам) сечения, а результаты сложить. Например, для осевых моментов инерции имеем

где i - номер части (элемента) сечения.

6. Радиусы инерции

iz = √(Jz / F)     iy = √(Jy / F).

Радиусы инерции не являются интегральными геометрическими характеристиками сечения. Они считаются положительными и имеют размерность длины.

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей происходит (рис.3.) по формулам

  
где - yz - центральные оси, y1z1 - произвольные оси. Эти формулы можно использовать в обратной последовательности при переходе от произвольных осей к центральным.

При повороте координатных осей (рис.3) моменты инерции изменяются по формулам

Сумма осевых моментов инерции относительно любой пары ортогональных осей с общим началом является постоянной величиной:

J + J = Jz1 + Jy1 = Jp = const

Ортогональные оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно таких осей имеют экстремальные значения и называются главными моментами инерции. Они определяются по формулам

J1,2 = Jmax,min = (Jz+Jy / 2) ± √(((Jz - Jy / 2)²) + Jzy²)
где - zy произвольные оси. Углы наклона главных осей инерции можно определить по формулам:
tgα1,2 = Jzy / (Jy - J1,2)
где - |α1| + |α2| = 90°.

На рис.4 υv- главные оси инерции, причем Jv = Jmax, Jυ = Jmin, Jυv = 0.

      

Главные оси можно провести через любую точку сечения или плоскости, где оно расположено. Однако наибольший интерес представляют главные центральные оси инерции (рис.5), для которых выполняются условия

Sv = Sυ = Jυv = 0.

Частным случаем главных осей инерции являются оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии сечения.

Задача определения моментов инерции при повороте осей может быть решена графически с помощью круга инерции, который строится аналогично кругу Мора для плоского напряженного состояния.

Приведем значения моментов инерции простых сечений

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика