Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Упрощенные уравнения движения вязкой среды. Роль числа Рейнольдса

Исследования вязких течений с использованием системы уравнений Навье — Стокса и экспериментальными методами показывают, что в зависимости от значения числа Рейнольдса можно выделить несколько характерных режимов течения. При числах Рейнольдса порядка единицы и меньше влияние вязкости распространяется на область течения, размеры которой намного больше размеров обтекаемого тела. При малых числах Рейнольдса (до единицы) действующие в потоке силы инерции намного меньше сил трения и давления, ими можно пренебречь и тем самым упростить и линеаризовать систему уравнений Навье — Стокса, отбросив конвективные члены этой системы уравнений. Такие течения называются ползущими, и система уравнений для них выглядит так:

Для этой системы уравнений на обтекаемой поверхности используются такие же граничные условия, как и для полной системы уравнений Навье — Стокса, т. е. условия прилипания. С использованием этой системы уравнений решена известная задача Стокса о ползущем течении около сферы.

При числах Рейнольдса порядка 10² область влияния вязкости на течение по порядку величин соизмерима с размерами обтекаемого тела и для расчета поля течения обычно используют численные методы решения полной системы уравнений Навье — Стокса.

При числах Рейнольдса порядка 10³ и более влияние вязкости на течение около хорошо обтекаемого тела сосредоточено в тонком пристеночном слое, называемом пограничным. В этом случае характеристики поля течения на расстояниях от обтекаемого тела, соизмеримых с его характерными размерами, мало изменяются с увеличением числа Рейнольдса, и при стремлении числа Рейнольдса к бесконечности можно в системе уравнений Навье — Стокса отбросить все члены, в которые входит динамическая вязкость µ. В результате получается система уравнений для невязкого течения.

Рассмотрим вопрос о граничных условиях на обтекаемой поверхности для этой системы уравнений. В реальном вязком потоке на обтекаемой поверхности выполняются условия прилипания и все компоненты вектора скорости обращаются в нуль, поэтому и при больших значениях числа Рейнольдса вблизи обтекаемой поверхности всегда остается тонкий слой течения, в котором силы трения и инерции одинаковы по порядку величин. При стремлении числа Рейнольдса к бесконечности этот слой не исчезает, однако при ламинарном режиме течения его толщина δ уменьшается пропорционально Re-1/2. При Re → ∞ δ → 0 и внутри пограничного слоя продольная составляющая вектора скорости на бесконечно малом расстоянии от обтекаемой поверхности изменяется от нуля на самой стенке до некоторого конечного значения. Это обстоятельство дает возможность при решении системы уравнений Эйлера граничное условие прилипания для вязкого газа заменить на граничное условие непротекания для невязкого течения, когда оставляется равной нулю только нормальная к обтекаемой поверхности компонента вектора скорости.

Для описания течения в тонком вязком пограничном слое около обтекаемой поверхности уравнения Навье — Стокса также могут быть упрощены путем оценки порядков величин каждого члена системы уравнений с учетом того, что толщина пограничного слоя намного меньше характерного размера обтекаемого тела. Система уравнений Прандтля для расчета течения в пограничном слое для плоского течения имеет вид

При этом используется граничное условие прилипания на обтекаемой поверхности и асимптотическое граничное условие на внешней границе пограничного слоя u → Ue при у → ∞, где Ue — скорость невязкого течения на обтекаемой поверхности, найденная из решения уравнений Эйлера с использованием на стенке граничного условия непротекания. Область применимости уравнений Эйлера для невязкого течения по числам Рейнольдса тесно связана с областью применимости уравнений пограничного слоя.

В последние годы для решения различных задач аэрогидромеханики находят широкое применение так называемые параболизованные уравнения Навье — Стокса. В реальном потоке имеют место аэрогидродинамические явления самых разных масштабов. Уравнения Эйлера построены так, что описывают главным образом явления в невязком потоке, характерные размеры которых соизмеримы по масштабу с размерами обтекаемого тела, и не описывают явления в тонком вязком пограничном слое непосредственно около обтекаемой поверхности. Течение в этой области описывается уравнениями пограничного слоя Прандтля. В классической теории пограничного слоя влияние этого вязкого слоя на внешний почти невязкий поток обычно не учитывается. Чтобы совместно описать почти невязкое течение в области, соизмеримой с характерными размерами обтекаемого тела, и в тонком вязком пограничном слое, а также учесть их взаимодействие, можно использовать параболизованные уравнения Навье — Стокса, в которых сохранены все члены полной системы уравнений Навье — Стокса, входящие в уравнения Эйлера для невязкого течения и в уравнения пограничного слоя Прандтля, и опущены члены, содержащие вторые и смешанные производные по продольной координате. В разных вариантах параболизованной системы уравнений Навье — Стокса в случае необходимости могут сохраняться и другие члены полной системы, не содержащие вторых и смешанных производных по продольной координате.


 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика