Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Напряженное состояние в балках при прямом изгибе и расчеты на прочность

При прямом изгибе балка изгибается в плоскости действия поперечных нагрузок, и ее деформированное состояние характеризуется искривлением оси и поворотом поперечных сечений (рис.1). Для случая так называемого чистого изгиба ( Q = О, М = const ) принимается, что поперечные сечения остаются плоским и перпендикулярными к оси балки (гипотеза плоских сечений). Кривизна балки при чистом изгибе в плоскости Oxy определяется по формуле

1 / ρ = M / EJz
где: EJz - жесткость балки при изгибе;
М = Мz - изгибающий момент;
ρ - радиус кривизны балки в плоскости Оху.

Формулу 1 обычно распространяют и на случай так называемого поперечного изгиба (когда Q ≠ 0, M ≠ const ) пренебрегая искривлением поперечных сечений за счет сдвигов.

Изгиб балки сопровождается растяжением одной части ее продольных волокон и сжатием другой части волокон. Волокна нейтрального слоя сохраняют свою длину, и их линейные деформации равны нулю. При прямом изгибе нейтральный слой представляет собой плоскость, перпендикулярную плоскости действия поперечных нагрузок и содержащую ось балки. Взаимное давление между продольными слоями и волокнами балки при изгибе обычно полагается отсутствующим.

Изгиб балки сопровождается действием в ее поперечных сечениях нормальных и касательных напряжений. При прямом изгибе в плоскости Oxy напряжения определяются по формулам

σx = σ = (M / Jz) * y,     τyx = τ = (Q * Sотк) / (Jz * b)
где M = Mz и Q = Qy - изгибающий момент и поперечная сила в балке, Sотс - статический момент отсеченной части сечения (рис. 2) относительно нейтральной оси и b - ширина сечения.

Нейтральная ось при изгибе в упругой стадии проходит через центр тяжести сечения и делит его на зоны растяжения и сжатия. Знак нормальных напряжений определяется в соответствии с характером действия изгибающего момента. Знак касательных напряжений обычно принимается равным знаку поперечной силы.

Нормальные напряжения меняются по высоте сечения по линейному закону (рис 3), достигая наибольших значений в крайних волокнах балки. Максимальные напряжения определяются по формулам

σmax = M / W1,     σmin = M / W2
где W1 и W2 - моменты сопротивления сечения:
W1 = Jz / h1,     W2 = Jz / h2
   

Для балок с несимметричными относительно нейтральной оси поперечными сечениями (рис. 3) нормальные напряжения в крайних по высоте волокнах, как правило, различны : σmax ≠ |σmin|. В частном случае для балок, у которых поперечное сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 4), имеем:

Моменты сопротивления прямоугольного и круглого сечений определяются по следующим формулам

Wz = bh² / 6 - прямоугольник;   Wz = ΠR³ / 4 = ΠD³ / 32 - круг

Моменты сопротивления прокатных сечений (двутавр, швеллер) приведены в соответствующих сортаментах.

Расчет балок на прочность при изгибе проводится, как правило, по сечениям с максимальными изгибающими моментами (опасные сечения). При этом в опасных сечениях должны выполняться условия прочности в зонах растяжения и сжатия:

σmax = Mрасч / W1 ≤ Rраст,     |σmin| = Mрасч / W2 ≤ Rсж
где Мрасч - изгибающий момент в опасном сечении балки, вычисленный от действия расчетных нагрузок и взятый по модулю;
Rраст, Rсж - расчетные сопротивления материала балки не растяжение и сжатие. В общем случае Rраст ≠ Rсж.

Если материал балки одинаково сопротивляется растяжению и сжатию (например, сталь), то сечения таких балок целесообразно проектировать симметричными относительно нейтральной оси. Для этого частного случая остается только одно условие прочности.
При:   Rраст = Rсж = R,           W1 = W2 = W.

σmax = σmin = Mрасч / W ≤ R

Подбор сечения балки при этом производится по формуле

W ≥ Wтрев = Mрасч / R

Для балок из прокатных профилей (например, двутавр и швеллер) подбор сечения ведется по сортаменту. Если сечение балки проектируется непрокатным или составным, то при подборе надо момент сопротивления сечения выразить через один из его размеров. Подбор сечения можно произвести по формуле

W = ka³ ≥ Wтреб = Mрасч / R
где
a - один из размеров сечения (параметр размеров);
k - числовой безразмерный коэффициент.

Грузоподъемность балки для частного случая можно определить из условия прочности по величине расчетного предельного момента:

Mрасч ≤ Mпред = RW

При проектировании поперечных сечений балок необходимо стремиться к увеличению момента сопротивления при заданной площади сечения. Для этого надо большую часть этой площади расположить, возможно, дальше от нейтральной оси.

Касательные напряжения в балках меняются по высоте сечения в зависимости от отношения Sотк / b и в крайних точках при отсутствии сдвигающих нагрузок равны нулю. Для постоянных по ширине сечений касательные напряжения меняются по закону квадратной параболы, а в местах скачкообразного изменения ширины они также имеют скачки или разрывы (рис. 5).

При изгибе тонкостенных стержней принимается, что касательные напряжения направлены вдоль осевых (контурных) линий элементов сечений стержней и постоянны по их ширине. Характер распределения касательных напряжений в двутавре и швеллере при изгибе в плоскости Оху показан на рис.6. В стенках стержней действуют вертикальные касательные напряжения τух меняющиеся по закону квадратной параболы, а в полках - в основном горизонтальные касательные напряжения τzх , меняющиеся по линейному закону.

Характерные значения касательных напряжений τух в стенках двутавра и швеллера определяется по формулам

τ1 = (QSn) / JzD,     τmax = (QS½) / JzD

S½ - статический момент половины сечения (полусечения) относительно нейтральной оси;
Sn - статический момент полки относительно нейтральной оси;
d - толщина стенки.

В тонкостенных стержнях касательные напряжения при изгибе образуют сплошной поток, который в некоторых случаях может вызвать закручивание стержня. Для того чтобы этого не происходило, плоскость действия поперечных нагрузок должна проходить через линию особых точек - центров изгиба сечения.

Для тонкостенных стержней с двумя плоскостями симметрии (например, двутавры) линия центров изгиба совпадает с осью стержня.

Если плоскость действия поперечных нагрузок не является плоскостью симметрии стержня, как например, для швеллера на рис.6., то линия центров изгиба может не совпадать с осью стержня. В этом случае положение центра изгиба поперечного сечения А можно определить из условия равенства нулю момента касательных напряжений относительно этой точка.

При относительно больших поперечных силах требуется проверка прочности балки на сдвиг:

τmax ≤ Rсд
где Rсд - расчетное сопротивление материала балки на сдвиг.

На сдвиг (срез, скалывание) рассчитываются также элементы соединений составных балок - заклепки, сварные швы, болты, шпонки и т.п.

Главные напряжения в балках при изгибе и углы наклона главных площадок можно определить по формулам плоского напряженного состояния положив δx = δ, δy = 0, τyx = τ.

В крайних по высоте точках балки напряженное состояние является одноосным, а в точках нейтрального слоя оно имеет характер чистого сдвига. Характер напряженного состояния в произвольной точке балки и положение главных площадок в трех характерных точках по ее высоте показаны на рис.7.

Работа балки за пределом упругости материала зависит от вида диаграммы растяжения-сжатия. Если в качестве этой диаграммы принята схематизированная диаграмма Прандтля (рис.8), то постепенное увеличение нагрузки приводит к образованию в опасном сечении балки пластических зон с напряжениями, равными пределу текучести.

В момент, когда пластические зоны охватят все сечение, образуется так называемый пластический шарнир (рис.9), что соответствует исчерпанию несущей способности балки. Нагрузка, соответствующая образованию пластического шарнира, называется разрушающей.

Разрушающий момент в пластическом шарнире определяется по формуле

Mразр = δm * Wпл
где - Wпл - пластический момент сопротивления сечения;
δm - предел текучести материала балки.

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика