Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Напряжения по косым сечениям, в условиях
растяжения, сжатия, продольного удлинения.

До сих пор мы интересовались лишь напряжениями в нормальных сечениях растягиваемого (или сжимаемого) бруса и его продольным удлинением. Теперь необходимо углубить наше исследование и рассмотреть напряжения, возникающие в любом косом сечении бруса. Весьма важно также более полно изучить деформации, происходящие в брусе при растяжении или сжатии. В результате мы найдём, что при простом растяжении в брусе имеются как нормальные, так и касательные напряжения; вместе с тем наряду с удлинениями получаются также и сдвиги.

Применим метод сечений к следующей задаче. Призматический брус находится под действием растягивающих сил, вызывающих по поперечному сечению нормальные напряжения σy. Выясним, какие напряжения возникают по площадкам, наклонённым под углом а (фиг. 1). Для этого:

1. Рассекаем (мысленно) наш брус тремя плоскостями:

а) перпендикулярной к направлению сил,
б) параллельной к направлению сил,
в) наклонной под углом а к поперечному сечению (к оси х).

2. Отбрасываем все части, кроме призмы abc, и принимаем, что площадка bc = dF (фиг. 2, а). Тогда:

площадка ас = dF cos а;
»    ba = dF sin а.

3. Заменяем действие отброшенных частей на оставшуюся силами. По площадке ас будет действовать, очевидно, только нормальная сила

σydF cos а.

По площадке ab силы действовать не будут; действительно, если бы мы продольными сечениями, подобными ab, разрезали весь брус на отдельные волокна, то, благодаря равномерному распределению напряжений по концевым сечениям бруса, полученный пучок волокон работал бы так же, как и целый брус; отдельные волокна не нажимали бы друг на друга и не скользили бы одно по другому; значит, между ними не будет ни нормальных, ни

касательных напряжений. По площадке bс, вообще говоря, будут действовать две силы: σdF — нормальная и τdF — касательная, где через σ и τ обозначены искомые напряжения: нормальное и касательное.

4. Составим уравнения равновесия; приравнивая нулю проекцию всех сил на ось N, получим:

Так как направления сил σdF и τdF мы принимали по направлению осей N и Т, то знак минус в выражении для значения касательного напряжения τ показывает, что направление этого напряжения было принято неверно и оно будет направлено в обратную сторону. Значит, мы получим следующие выражения для напряжений по косой площадке, наклонённой под углом а к поперечному сечению:

Мы не ограничили размеров площадки bс; наши выводы действительны для любых размеров вообще же мы будем считать её бесконечно малой; будем двигать площадку bс параллельно самой себе к точке а; тогда в пределе все три площадки пересекаются в одной точке а, и мы имеем право сказать, что изучаем напряжения по произвольной площадке bс, проходящей через точку а и наклонённой под углом а к оси Ох.

Уравнения (3.1) показывают, что напряжения σ и τ являются функциями от а, т. е. что они изменяются с изменением наклона площадки bс. Весьма важно установить, при каких значениях угла а напряжения σ и τ достигают наибольших значений. Так как правые части уравнений зависят только от sin 2а и cos 2а, то мы легко найдём, что σmax получится при cos 2а = 1, т. е. при 2а = О, откуда а = 0. Следовательно,

Из (3.2) мы видим, что при простом растяжении (сжатии) наибольшее нормальное напряжение получается в поперечном сечении бруса. Равенство (3.3) показывает, что в продольном сечении нет нормальных напряжений, как это мы и предположили вначале. Особенно важным для дальнейшего является вывод (3.4), показывающий, что при простом растяжении наибольшие касательные напряжения получаются в сечении, наклонённом под углом 45° к оси бруса, и они равны половине основного растягивающего напряжения.

Метод, здесь применённый и связанный с вырезанием бесконечно малой призмы abc, есть общий метод исследования напряжённого состояния в данной точке. Дальше мы будем им пользоваться для изучения более сложных случаев.

Выведем закон взаимности касательных напряжений. Второе из уравнений (3.1) даёт величину касательного напряжения по площадке, наклонённой под углом а к поперечному сечению.

Исследуем, каково касательное напряжение по площадке, наклонённой под углом а + 90° (фиг. 2, b); для этого в формулу (3.1) подставим значение нового угла; тогда

т. е. касательные напряжения по двум площадкам,- образующим между собой угол 90°, равны, по величине. Эта зависимость называется законом взаимности касательных напряжений.

Необходимо сделать замечание о знаках напряжений при выводе уравнений (3.1). Направления напряжений мы приняли по фиг. (2, а) для случая, когда а < 90°, и, считая их существенно положительными, ввели в уравнения равновесия элементарной призмы abc. Однако уравнения (3.1), как мы сейчас видели, применяются и при угле, большем 90°. Возникает вопрос: каким направлениям напряжений σ и τ - соответствуют положительные значения для них, получаемые из уравнений (3.1) в этом случае. Для ответа на этот вопрос рассмотрим в одном и том же растянутом брусе две площадки bс, наклонённые немного менее и немного более 90° к поперечному сечению (фиг. 3, а и Ь). При переходе угла а через значение 90° все напряжения случая (фиг. 3, а) должны непрерывным образом перейти в напряжения случая (фнг. 3 b).

Напряжение σy в обоих случаях выражает действие нижней (отброшенной) части на верхнюю; поэтому направление его в обоих случаях одинаково. Что же касается напряжений σ и τ по наклонной площадке bс, то в случае а они выражают действие правой части на левую; в случае же b — наоборот; поэтому при переходе от случая а к случаю b (фиг. 3) направления их необходимо изменить на обратные, если мы хотим, чтобы при этом переходе не изменялось правило знаков напряжений в формулах 3.1. Если бы по площадке ab были приложены напряжения σx и τx (фиг. 3, а), то при переходе а через 90° их направления пришлось бы также изменить из тех же соображений. Получаем следующее правило.

Первый случай, а < 90°; если формулы (3.1) дают для σ и τ положительные значения, то они направлены, как показано на (фнг. 3, а): если же какое-либо из них получается отрицательным, то направление его обратно показанному на (фиг. 3, а).

Второй случай. 90° < а < 180°; если по (3.1) получаем σ > 0 и τ > 0, то они направлены, как на (фиг. 3, b). При других знаках их направления соответственно меняются. Если направление напряжения σy будет задано другое, чем (на фиг. 3), то при нём в уравнениях (3.1) надо соответственно изменить знаки.

При выводе формул (3.1) направление отсчёта угла а принято по часовой стрелке, как это иногда делается. Если вести отсчёт угла а по правилам тригонометрии, против часовой стрелки, то в формулах (3.1) следует вместо а подставить 180° — а. Первая из формул (3.1) от такого преобразования не изменится, вторая же изменит знак на обратный, так как


 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика