Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Сверхпроводящее состояние
Электрон-фононное взаимодействие и куперовские пары

Рассмотрение сверхпроводимости на фоне остальных процессов, приводящих к упорядочению, позволяет нам предположить, что это новое состояние металлов обусловлено каким-то особым видом взаимодействий. Для понимания сверхпроводимости необходимо было найти этот вид взаимодействий. Только затем можно было создать атомистическую теорию сверхпроводимости, объясняющую это явление.

На пути к такой теории возникало множество трудностей. На основании резкого изменения электропроводности и магнитных свойств можно было предположить, что при наступлении сверхпроводимости процесс упорядочения происходит главным образом в системе проводящих электронов. В соответствии с принципом Паули электроны проводимости обладают довольно значительными энергиями, вплоть до нескольких электронвольт. Один электронвольт соответствует средней тепловой энергии KвT порядка 11 ООО К. Переход в сверхпроводящее состояние происходит, однако, при нескольких градусах Кельвина. Следовательно, необходимо найти такое взаимодействие, которое способно привести к упорядочению электронной системы, несмотря на большие энергии электронов.

Эти энергетические соображения осложняются еще и тем, что даже самые большие значения измеренных на опыте энергий перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние оказались почти в 10 в 4 степени; раз меньше, чем следовало бы ожидать для превращения, происходящего при нескольких градусах выше абсолютного нуля. Эти энергетические соображения осложняются еще и тем, что даже самые большие значения измеренных на опыте энергий перехода из сверхпроводящего в нормальное состояние оказались почти в 104 раз меньше, чем следовало бы ожидать для превращения, происходящего при нескольких градусах выше абсолютного нуля. Энергия превращения для свинца составляет при 4 К около 23,5* 10 в минус 3 степени Вт*с/моль, т. е. около 5,6• 10 в -3 ст. кал/моль (1 моль свинца = 207 г). В то же время для испарения жидкого гелия в точке кипения при 4,2 К требуется энергия около 22 кал/моль. Как объяснить, почему при нескольких градусах в системе электронов протекает процесс упорядочения, который по своей энергии в 104 раз слабее, чем следовало бы ожидать по аналогии с другими превращениями?

Между электронами проводимости в металлах может существовать целый ряд взаимодействий. Было высказано предположение, что кулоновское отталкивание электронов приведет к пространственному упорядочению электронов в структуру, напоминающую решетку. Можно было допустить и магнитное взаимодействие. Электроны, пролетающие с заметными скоростями сквозь металлическую решетку, так же как и электрический ток, создают магнитное поле и с помощью этого поля могут взаимодействовать между собой. Другие виды взаимодействий могут появиться в результате особенностей структуры квантовых состояний.

Все эти попытки не давали даже сколько-нибудь удовлетворительной атомистической теории сверхпроводимости. Только в 1950—1951 гг. одновременно и независимо друг от друга Г. Фрёлих и Дж. Бардин предложили идею взаимодействия электронов через колебания решетки, которая, как оказалось позднее, в рамках существовавших тогда представлений о металлах должна была привести к функциональному объяснению сверхпроводимости. Исходя из этого взаимодействия, Дж. Бардин, Л. Купер и Дж. Шриффер в 1957 г. смогли создать атомистическую теорию сверхпроводимости, известную как теория БКШ, которая оказалась в состоянии дать количественное объяснение многим известным фактам, а главное сыграла огромную стимулирующую роль. Под влиянием этой теории в последующие годы было выполнено большое количество экспериментальных работ, которые не только значительно расширили наши представления о сверхпроводимости, но и, что самое главное, существенно их изменили.

Путь от предсказания нового взаимодействия (1950 г.) до развития эффективной теории (1957 г.) был все же очень тяжелым. Правда, по счастливой случайности почти одновременно с теоретическими работами, в которых предсказывалась большая роль этого нового взаимодействия в создании сверхпроводимости, было получено поразительно однозначное подтверждение правильности этих предположений. При исследовании различных изотопов одного и того же сверхпроводника было обнаружено, что температура перехода в сверхпроводящее состояние зависит от массы атомов. Более того, зависимость, полученная экспериментальным путем, в точности соответствовала самым первым расчетам Фрёлиха.

Стало очевидно, что, несмотря на все формальные трудности теории, несомненно, сущность была схвачена правильно. Это блестящее подтверждение новой идеи оказало большое влияние на последующее развитие теории.

Как представить себе это межэлектронное взаимодействие, которое осуществляется через колебания решетки? Ниже мы рассмотрим некоторые модели такого взаимодействия. Однако следует сразу же подчеркнуть, что они имеют весьма ограниченный характер и на их основании не следует пытаться делать далеко идущие выводы.

Начнем со статической модели. Решетка атомных остовов, в которой проводящие электроны движутся подобно фермигазу, обладает упругими свойствами. Атомные остовы привязаны к своим равновесным положениям не жестко, а могут отклоняться от них. Как мы уже говорили, при конечных температурах они беспорядочно колеблются относительно своих равновесных положений. Если в такую решетку атомных остовов поместить всего лишь два отрицательных заряда и пренебречь при этом всеми остальными электронами (это весьма грубое допущение довольно далеко от реальности), то в непосредственной близости от обоих отрицательно заряженных электронов произойдет некоторое притяжение окружающих положительных зарядов. Принято говорить, что под действием отрицательного заряда решетка поляризуется. Это явление схематично иллюстрируется на фиг. 1. По сравнению с равномерным распределением положительных зарядов в решетке поляризация означает скопление положительного заряда вблизи поляризующего отрицательного заряда. Второй электрон и поляризованная им область решетки могут реагировать на поляризацию, вызванную первым электроном. Второй электрон испытывает притяжение к месту поляризации, а следовательно, к первому электрону. Притягивающее взаимодействие между двумя электронами мы описали, пользуясь термином «поляризация решетки».

Для этого статического притягивающего взаимодействия можно привести механическую аналогию. Упругую деформирующуюся решетку атомных остовов заменим упругой мембраной, например натянутой тонкой резиновой пленкой или же поверхностью жидкости. Теперь на эту мембрану положим два шарика (в случае жидкости шарики должны быть несмачиваемыми. Каждый шарик, если он достаточно удален от другого, своим весом деформирует мембрану, как показано на фиг. 2, а. Это соответствует поляризации решетки. Не прибегая к вычислениям, можно утверждать, что если оба шарика будут находиться в одной и той же ямке, то энергия общей системы, состоящей из мембраны и двух шариков, понизится.

При этом они окажутся ниже (фиг. 2, б), что соответствует меньшей потенциальной энергии в поле тяжести, а следовательно, меньшей общей энергии. Таким образом, с помощью упругой мембраны мы создали взаимодействие между шариками, которое привело к связанному состоянию, т. е. к состоянию, при котором шарики максимально сближены друг с другом в пространстве.

Модель наглядно показывает, что притягивающее взаимодействие может реализоваться благодаря упругим искажениям. Большего от нее и требовать нельзя. Скорее можно думать, что при движении электрона сквозь решетку, вдоль его траектории возникает поляризация, которая главным образом зависит от того, насколько быстро решетка может откликаться на поляризующее воздействие электрона. Таким образом, существенным является время, в течение которого в решетке атомных остовов может произойти некоторый сдвиг. Для упругой системы это означает, однако, что поляризуемость зависит от собственных частот. С помощью такого весьма примитивного динамического подхода мы получили очень важный результат. По крайней мере, качественно становится понятным, что степень поляризации, а, следовательно, и сила взаимодействия при прочих равных условиях могут зависеть от частот собственных колебаний решетки, а значит, и от массы атомных остовов. Тяжелые изотопы колеблются немного медленнее, и решетка при этом имеет более низкие частоты. Поскольку они реагируют на поляризующее действие медленнее, чем легкие изотопы, их поляризация окажется более слабой. Можно ожидать, что и притяжение между электронами будет слабее, а значит, ниже температура, при которой произойдет переход в сверхпроводящее состояние. Итак, с ростом массы изотопа температура перехода понижается, что и подтверждается экспериментально. Однако следует подчеркнуть, что последние рассуждения носят чисто умозрительный характер и не позволяют делать никаких количественных выводов. Только квантовомеханическое рассмотрение может указать нам, какие частоты колебаний решетки подходят для получения этого взаимодействия.

В принципе теперь имеются две возможности. Оба электрона могут иметь одинаковые импульсы. Тогда было бы удобно рассматривать оба электрона как одну частицу, а именно электронную пару. Суммарный импульс этой пары составляет удвоенный импульс одного электрона. Другая возможность состоит в том, что электроны могут иметь противоположные импульсы. При этом точно так же один электрон может двигаться по поляризованному следу другого. Такие два электрона труднее представить себе в виде одной частицы — электронной пары. Однако если рассуждать абстрактно, то в первом случае корреляция электронов осуществляется при выполнении требования p1 = р2, а во втором p1 = — р2. Поэтому мы имеем полное право и эти два строго коррелированных электрона называть парой. Эта электронная пара имеет суммарный импульс, равный нулю. Такие пары называют куперовскими парами по имени Л. Купера, впервые показавшего, что подобная корреляция ведет к уменьшению общей энергии. Если мы учтем также импульс собственного вращательного момента электронов, что существенно для статистики новых частиц, то куперовская пара будет состоять из двух электронов с равными и противоположно направленными импульсами и противоположными спинами:

Куперовская пара: {р↑, — р↓}.

Корреляция электронов с образованием куперовских пар энергетически выгодна благодаря поляризации положительно заряженной решетки.

Поскольку возможность образования пар является важнейшей основой для атомистической теории сверхпроводимости, а следовательно, и для понимания сверхпроводящего состояния, следует привести еще одно, существенно иное и более общее рассмотрение. Образование электронных пар в решетке можно понять с помощью весьма общего формализма так называемых обменных взаимодействий.

Системы, которые обмениваются между собой какими-либо величинами, находятся во взаимодействии. Это тривиальное заключение справедливо во всех случаях. В квантовой механике говорят об обменном взаимодействии в том случае, если оно приводит к притяжению между двумя физическими системами. Например, две частицы, обмениваясь третьей частицей, могут испытывать притяжение друг к другу, что приводит к такому состоянию, при котором обе частицы оказываются связанными между собой.

Отталкивание, происходящее в результате обмена частицами, можно представить наглядно. Такое отталкивание испытывают два человека, перекидывающиеся мячом. Это легко понять и можно просто проверить, если каждого игрока поместить на подвижную платформу, причем обе платформы должны свободно перемещаться вдоль линии, соединяющей игроков. При перебрасывании мяча платформы будут разъезжаться в разные стороны, причем это отталкивание вызвано только обменом мячом и связанным с ним импульсом.

Мы не будем пытаться создать столь же простую модель для притягивающего взаимодействия. Обсудим два примера из современной физики, настолько наглядные и привычные для нас, что даже их качественное рассмотрение будет достаточно убедительным.

Известно, что два атома водорода образуют молекулу водорода и что эта молекула имеет довольно сильную связь. Чтобы ее разорвать, т. е. диссоциировать 2 г Н2, необходима энергия 26 * 10 в 4ст. Вт*с/моль (62,5 ккал/моль). Чем можно объяснить причину такой сильной связи в молекуле Н2 двух, вообще говоря, нейтральных атомов водорода? Чтобы легче понять суть дела, рассмотрим несколько более простую систему, а именно положительно заряженную молекулу Н2+. Эта молекула состоит из двух ядер водорода (двух протонов) и одного электрона. На фиг. 3, а и б показаны два возможных состояния этой системы при большом расстоянии между протонами: электрон находится рядом с одним из двух протонов. Если теперь сближать протоны, то, как учит нас квантовая механика, электрон сможет с некоторой вероятностью «перепрыгивать» от одного протона к другому, или, по нашей терминологии, протоны могут «обмениваться» им. Вероятность обмена быстро возрастает с уменьшением расстояния. В результате электрон будет принадлежать в равной степени обоим протонам, как это показано на фиг. 3, в. Важный вывод, который можно получить для этого случая с помощью квантовой механики, состоит в том, что благодаря такому обмену суммарная энергия системы понижается. Это означает, что малые расстояния R энергетически более выгодны. Оба протона связываются общим электроном. Равновесное расстояние получается из требования, чтобы сила притяжения за счет электронного обмена была в точности равна силе электростатического отталкивания положительно заряженных протонов.

Понижение энергии за счет обмена электронами легко понять с помощью фундаментального принципа современной физики — соотношения неопределенности. Согласно этому принципу, нельзя одновременно с большой точностью определить обе величины — импульс и координату частицы. Максимальная точность, с которой можно установить значение этих величин, дается выражением

Для нашей системы это означает, что если разрешить электрону находиться рядом с двумя протонами, то за счет увеличения Δx можно уменьшить размытие импульса ΔPx. При этом уменьшается также размытие энергии, что приводит к понижению энергии электрона.

Если это уменьшение энергии превышает ее возрастание, вызванное кулоновским отталкиванием положительно заряженных протонов, то в результате получается притяжение. Мы видим, что образование молекулы водорода является типичным квантомеханическим эффектом. Изложенные соображения представляют собой основу для понимания природы химической связи.

Аналогичным образом можно объяснить и ядерные силы, т. е. силы, удерживающие в атомном ядре нуклоны — протоны и нейтроны. В 30-х годах X.Юкава предложил рассматривать ядерные силы как результат обменного взаимодействия. Для этого надо было предположить существование некой частицы, которой обмениваются нуклоны, причем ее масса должна составлять несколько сотен масс электрона. Позднее такая частица, так называемый π-мезон, была действительно открыта. Таким образом, в рамках квантовой механики притяжение между нуклонами можно понять как обменное взаимодействие, при котором происходит обмен π-мезонами.

С помощью точно таких же рассуждений можно понять и возникновение притяжения между проводящими электронами в металле. Однако в этом случае обменное взаимодействие может осуществляться благодаря совершенно иным частицам — так называемым фононам. Фононы — это не что иное, как виды элементарных колебаний решетки. Если в решетке происходит какой-либо сложный колебательный процесс, мы можем его разложить на совокупность гармонических волн. Эта операция называется разложением Фурье. В случае макроскопического тела гармонические волны обладают вполне определенной энергией. Кроме того, они имеют вполне определенные длины волн, а следовательно, по соотношению | р | = h / λ — определенные импульсы. Поэтому мы можем рассматривать их как частицы и называть фононами, или квантами звука.

Таким образом, электрон может взаимодействовать с другим электроном в решетке путем обмена этими квантами звука, или фононами. В этом случае говорят об электрон-электронном взаимодействии, обусловленном фононами. Обменные фононы называют виртуальны¬ми, так как они существуют только при переходе от одного электрона к другому и в противоположность реальным фононам не могут распространяться в решетке независимо от этих электронов.

Такое взаимодействие изображено схематически на фиг. 4. При определенных условиях, которые выполняются в сверхпроводниках, оно может быть столь сильным, что превышает электростатическое отталкивание электронов. В таком случае мы можем получить уже упоминавшиеся выше связанные электронные пары.

В. БУККЕЛЬ - "СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ"
Перевод с немецкого кандидата технических наук Ю. А. БАШКИРОВА

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика