Free Student HQ / FSHQ / "Штаб-Квартира свободного Студента"

Кручение стержней.

Расчетные формулы, основы расчетов.

Стержень, работающий в основном на кручение, обычно называется вазой. При действии на стержень скручивающих нагрузок в его поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие - крутящий момент Мкр. В статически определимых задачах крутящий момент может быть определен с помощью уравнений равновесия как сумме скручивающих нагрузок, приложенных к одной из частей стержня (рис. 1).

Знак крутящего момента физического смысла не имеет. Обычно крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он стремится повернуть оставшуюся часть стержня по часовой стрелке (рис.2).

Крутящий момент и интенсивность распределенной скручивающей нагрузки связаны между собой дифференциальным соотношением:

dMкр / dx = -m(x)

Из соотношения этого следует, например, что на участках стержня с постоянной скручивающей нагрузкой m = const крутящий момент меняется по линейному закону, а на участках, где m = 0, он имеет постоянное значение. Изменение крутящих моментов по длине стержня графически изображается с помощью эпюра Мкр.

В качестве элементов конструкций и машин, работающих преимущественно на кручение, наиболее часто применяется стержни круглого или кольцевого сечений (круглые сплошные или полные валы). Деформацию таких валов при кручении можно характеризовать как взаимный поворот поперечных сечений (рис. 3). При этом поперечные сечения остаются плоскими, а расстояния между ними не изменяется. Угол поворота сечений является переменной величиной и называется углом закручивания φ(х).

Характеристикой степени закручивания вала по длине является относительный угол θ = φ'(х). Различие углов поворота поперечных сечений вызывает деформацию сдвига на поверхности вала (рис .3) и внутри его. При этом в поперечных сечениях круглых сплошных и полых валов действую только касательные напряжения (рис. 4), перпендикулярные к радиусам и определяемые по формуле:

τ = (Мкр / Jp)*r
где Jp = ∫Fr²dF - полярный момент инерции.

Относительный и абсолютный углы закручивания вала определяются по формулам:

θ = dφ / dx = Мкр / GJp,   φ = ∫eθdx = ∫e(Мкр / GJp)*dx

где G модуль упругости материала при сдвиге. Произведение GJp называется жесткостью вала круглого сечения при кручении.

Для частного случая, когда Мкр = const и GJp = const, абсолютный угол закручивания вала определяется по формуле:

φ = Мкрl / GJp

При переменном по длине вала крутящем моменте предыдущую формулу можно использовать в следующем виде:

При GJp = const,   φ = 1 / GJpl Mкрdx = 1 / GJpΩMкр
где ΩMкр - площадь эпюры крутящих моментов на денном участке, вычисленная с учетом знвка Мкр.

Кручение круглого вела постоянной жесткости (GJр = const ) описывается следующим дифференциальным уравнением:

GJp φ''x = -m(x)

Потенциальная энергия деформации круглого вала при кручении в общем случае определяется по формуле

U = ∫l((M²)кр / 2GJp)dx

Условие прочности круглого сплошного или полого вала при кручении имеет следующий вид:

Τmax = Mкрmax / Wp ≤ [Τ]
где Mкрmax - максимальный крутящий момент в вале,
WP - полярный момент сопротивления сечения и
[Т] - допускаемое касательное напряжение.

Таким образом, расчет на прочность вела при кручении выполняется по максимальным касательным напряжениям на поверхности вела.

Приведем значения полярного момента сопротивления сечения вала.

Подбор сечения вала из условия прочности проводится по моменту сопротивления сечения:

Wp ≥ Mкрmax / [Τ]

Зная Wp, можно определить требуемый диаметр вала (рис. 5).

Вал, работающий на кручение, должен также удовлетворять условию жесткости:

θmax = Mкрmax / GJp ≥ [θ]
где [θ] допускаемый относительный угол закручивания вала, обычно лежащий в пределах [θ] = (0,15 / 2)град/м.

Из условия жесткости можно также определить требуемый диаметр вала.

При расчете вала на прочность и жесткость из двух требуемых диаметров надо принять больший.

Грузоподъемность вала можно определить по величине допускаемого крутящего момента, определяемого из следующих условий:

прочности: Мдоп = [Τ] * Wp

жесткости: Мдоп = [θ] * GJp

При кручении круглых сплошных или полых валов наибольшие нормальные напряжения (главные растягивающие и главные сжимающие) действует на поверхности вала под углом 45° к образующим (рис. 6). Они равны по абсолютной величине максимальным касательным напряжениям в поперечных сечениях вала: |δ1| = |δ2| = Τmax.

         
Разрушающий крутящий момент в вале из пластичных материалов определяется по формуле
Mраз = Τm * Wпл
где Τm - предел текучести материала при сдвиге;
Wпл - пластический момент сопротивления сечения вала.

Для круглого вала сплошного сечения эпюра касательных напряжений в момент разрушения вала (пластическая стадия) показана на рис. 7. При этом пластический момент сопротивления сечения вала определяется по формуле

Wпл = 2/3 (ΠR³) = ΠД³ / 12.

При кручении стержней некруглого сечения (прямоугольное, треугольное и т.п.) поперечные сечения не остаются плоскими. Происходит их коробление или депланация. Расчет таких стержней при кручении достаточно сложен и производится с помощью методов теории упругости.

Приведем данные расчета стержня прямоугольного сечения при кручении. Касательные напряжения в поперечных сечениях меняются по нелинейному закону (рис. 8) и достигают наибольших значений в серединах сторон, причем Τ1 ≤ Τmax. Расчетные формулы имеют следующей вид:

Τmax = Mкр / Wк,   τ1γτmax

φ = ∫l(Mкр / GJк)dx

Геометрические характеристики сечения Jk и Wk определяются по формулам

Jк = αhb³,     Wк = βhb²
где α, β и γ - числовые коэффициенты, зависящие от отношенияия сторон n = h / b. Для узких прямоугольников (полос) при n ≥ 10 формулы приобретают следующий вид:
Jк = hσ² / 3,     Wк = hσ² / 3
где σ = b - толщина полосы.

 

Сайт создан в 2012 г. © Все права на материалы сайта принадлежат его автору!
Копирование любых материалов сайта возможно только с разрешения автора и при указании ссылки на первоисточник.
Яндекс.Метрика